Los números de la forma n2+1 tienen una propiedad muy elegante, y es que son divisores de otros números de la forma p2+1, y además, su cociente también es del tipo m2+1, es decir, que para todo n entero, existen m y p también enteros tales que
(n2+1)(m2+1)= p2+1.
¿Sabrías encontrar los valores adecuados de m y p para cualquier valor entero de n?
Es una cuestión meramente algebraica.
sábado 7 de noviembre de 2009
lunes 2 de noviembre de 2009
Cubos y gnomones (4)
Cuando ya tenía programadas las tres entradas sobre Cubos y gnomones
encontré esta curiosidad en el siempre interesante blog de Claudio
http://simplementenumeros.blogspot.com/
Me planteé buscar cocientes similares pero con suma de cubos. Para ello, según lo que hemos visto en las anteriores entradas, bastaría buscar cuadrados de números triangulares tales que las diferencias entre sus índices fueran iguales dos a dos, como ocurre, por ejemplo con T102 - T52 = 452-102 y T182 - T132 =1532-782, (10-5=5 y 18-13=5) y que, además, las dos diferencias fueran divisibles, como ocurre en este ejemplo, en el que 1532-782=17325 es múltiplo de 452-102=1925.
Después bastaría traducir las diferencias entre triangulares en sumas de cubos, con lo que obtendríamos cocientes aparentemente complicados con resultado simple. La exigencia de que las diferencias entre índices sean iguales se debe a un deseo de simetría pero no es imprescindible.
Con una tabla de doble entrada de cuadrados de triangulares o con código Basic se encuentran fácilmente.
Presentamos cuatro de esos resultados, pero se pueden obtener muchos más. Es seguro que ya estarán publicados en alguna parte, pero lo que interesa es que se han encontrado con una hoja de cálculo y la comprobación, con Wiris.
encontré esta curiosidad en el siempre interesante blog de Claudio
http://simplementenumeros.blogspot.com/
Me planteé buscar cocientes similares pero con suma de cubos. Para ello, según lo que hemos visto en las anteriores entradas, bastaría buscar cuadrados de números triangulares tales que las diferencias entre sus índices fueran iguales dos a dos, como ocurre, por ejemplo con T102 - T52 = 452-102 y T182 - T132 =1532-782, (10-5=5 y 18-13=5) y que, además, las dos diferencias fueran divisibles, como ocurre en este ejemplo, en el que 1532-782=17325 es múltiplo de 452-102=1925.
Después bastaría traducir las diferencias entre triangulares en sumas de cubos, con lo que obtendríamos cocientes aparentemente complicados con resultado simple. La exigencia de que las diferencias entre índices sean iguales se debe a un deseo de simetría pero no es imprescindible.
Con una tabla de doble entrada de cuadrados de triangulares o con código Basic se encuentran fácilmente.
Presentamos cuatro de esos resultados, pero se pueden obtener muchos más. Es seguro que ya estarán publicados en alguna parte, pero lo que interesa es que se han encontrado con una hoja de cálculo y la comprobación, con Wiris.
martes 27 de octubre de 2009
Cubos y gnomones (3)
En las dos entradas anteriores hemos sumado números impares y potencias. La demostración algebraica de las fórmulas de este tipo puede estar sujeta a errores. Nadie puede decir que no se ha equivocado en un desarrollo algebraico de dos hojas.
Un método para comprobar cálculos de sumas de este tipo es el uso de una fórmula de interpolación. En este caso un método de interpolación adecuado es el de Newton. Se puede adaptar con cierta facilidad al caso de valores enteros equidistantes.
En la siguiente dirección puedes encontrar su implementación en Excel y Calc:
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm
Si aplicamos esta herramienta al caso de la suma de cubos tomando, por ejemplo, como primer cubo el 27, nos resultaría esta expresión: S=27 + 64(x-3)+61/2(x-3)(x-4)+5(x-3)(x-4)(x-5)+1/4(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)
Puedes comprobar su validez dando a x los valores 3,4,5,6,7,… para verifiar que se obtienen las sumas de cubos 27, 91, 216, 432, 775,…
Otro problema es el de simplificar esta expresión, que también sería una operación sujeta a errores. Si lo haces, observarás que efectivamente la fórmula equivale a T2k+r - T2k-1.
Nota: No me resisto a incluir la interpolación que se logra con la calculadora en red WIRIS, porque es un gran auxiliar en este tipo de desarrollos:
El resultado final es la diferencia de números triangulares que ya hemos obtenido para la suma 27+64+125+216+...
¿Por qué entonces usar la hoja de cálculo?
Yo tengo mi propia respuesta, y es que resulta muy divertido pedalear. No todo va a ser ir en coche.
Un método para comprobar cálculos de sumas de este tipo es el uso de una fórmula de interpolación. En este caso un método de interpolación adecuado es el de Newton. Se puede adaptar con cierta facilidad al caso de valores enteros equidistantes.
En la siguiente dirección puedes encontrar su implementación en Excel y Calc:
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm
Si aplicamos esta herramienta al caso de la suma de cubos tomando, por ejemplo, como primer cubo el 27, nos resultaría esta expresión: S=27 + 64(x-3)+61/2(x-3)(x-4)+5(x-3)(x-4)(x-5)+1/4(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)
Puedes comprobar su validez dando a x los valores 3,4,5,6,7,… para verifiar que se obtienen las sumas de cubos 27, 91, 216, 432, 775,…
Otro problema es el de simplificar esta expresión, que también sería una operación sujeta a errores. Si lo haces, observarás que efectivamente la fórmula equivale a T2k+r - T2k-1.
Nota: No me resisto a incluir la interpolación que se logra con la calculadora en red WIRIS, porque es un gran auxiliar en este tipo de desarrollos:
El resultado final es la diferencia de números triangulares que ya hemos obtenido para la suma 27+64+125+216+...¿Por qué entonces usar la hoja de cálculo?
Yo tengo mi propia respuesta, y es que resulta muy divertido pedalear. No todo va a ser ir en coche.
jueves 22 de octubre de 2009
Cubos y gnomones (2)
La solución a la cuestión (1) de la entrada anterior es la siguiente:
Todo cubo n3 de base natural n equivale a la diferencia de los cuadrados de los números triangulares Tn y Tn-1.
Basta desarrollar la expresión (n(n+1)/2)2-(n(n-1)/2)2 y comprobar que el resultado es n3 .
Es esclarecedor observar la cuestión propuesta desde el punto de vista geométrico. Si representamos la suma 7+9+11 como un embaldosado compuesto de tres gnomones, n3 se adivina apilando baldosas:
En este caso se visualiza fácilmente
Prueba a convertir en cubo de esta forma otras sumas parecidas, como 13+15+17+19.
También es atractiva la idea de formar primero el cubo como agregación de cuadrados y después convertirlo en suma de impares. Observa la figura:
Todo cubo n3 de base natural n equivale a la diferencia de los cuadrados de los números triangulares Tn y Tn-1.
Basta desarrollar la expresión (n(n+1)/2)2-(n(n-1)/2)2 y comprobar que el resultado es n3 .
Es esclarecedor observar la cuestión propuesta desde el punto de vista geométrico. Si representamos la suma 7+9+11 como un embaldosado compuesto de tres gnomones, n3 se adivina apilando baldosas:
En este caso se visualiza fácilmente
Prueba a convertir en cubo de esta forma otras sumas parecidas, como 13+15+17+19.
También es atractiva la idea de formar primero el cubo como agregación de cuadrados y después convertirlo en suma de impares. Observa la figura:
viernes 16 de octubre de 2009
Cubos y gnomones (1)
En alguna página web he vuelto a encontrar esta propiedad:
1 = 13
3+5 = 23
7+9+11 = 33
13+15+17+19 = 43
Independientemente de su elegancia, es una invitación a profundizar en otras relacionadas con ella y a justificar rigurosamente su existencia.
(1) La propiedad presentada está relacionada con otra bien conocida:
1=12
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
1+3+5+7+9=52
Saca consecuencias:
¿Se puede afirmar que todo cubo perfecto es diferencia de dos cuadrados?
En caso afirmativo ¿Qué tipo de números son los que pueden formar esa diferencia?
¿Podrías demostrarlo con todo rigor?
Publicaremos la solución en la siguiente entrada.
(2) La propiedad considerada nos permite encontrar una expresión algebraica para la suma de varios cubos consecutivos, por ejemplo
k3 + (k+1)3 + (k+2)3+ … + (k+r)3
¿Sabrías encontrarla?
Se pueden dar varias distintas. Si deseas comprobar la que propongas usa la hoja de cálculo
1 = 13
3+5 = 23
7+9+11 = 33
13+15+17+19 = 43
Independientemente de su elegancia, es una invitación a profundizar en otras relacionadas con ella y a justificar rigurosamente su existencia.
(1) La propiedad presentada está relacionada con otra bien conocida:
1=12
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
1+3+5+7+9=52
Saca consecuencias:
¿Se puede afirmar que todo cubo perfecto es diferencia de dos cuadrados?
En caso afirmativo ¿Qué tipo de números son los que pueden formar esa diferencia?
¿Podrías demostrarlo con todo rigor?
Publicaremos la solución en la siguiente entrada.
(2) La propiedad considerada nos permite encontrar una expresión algebraica para la suma de varios cubos consecutivos, por ejemplo
k3 + (k+1)3 + (k+2)3+ … + (k+r)3
¿Sabrías encontrarla?
Se pueden dar varias distintas. Si deseas comprobar la que propongas usa la hoja de cálculo
viernes 9 de octubre de 2009
Solver nos ayuda en un problema
Hemos leído el siguiente problema en el blog “Problemas matemáticos”
(http://problemate.blogspot.com)
La igualdad 2008 = 1111 + 444 + 222 + 99 + 77 + 55 es un ejemplo de descomposición del número 2008 como suma de números distintos de más de una cifra, cuya representación (en el sistema decimal) utiliza un sólo dígito.
i) Encontrar una descomposición de este tipo para el número 2009.
ii) Determinar para el número 2009 todas las posibles descomposiciones de este tipo que utilizan el menor número posible de sumandos (el orden de los sumandos no se tiene en cuenta).
Nos ha parecido de interés para comentar las posibilidades de la herramienta Solver, tanto de Excel como de Calc (tan sólo se diferencian en pequeños detalles) para ayudarnos a encontrar una de las descomposiciones pedidas.
Este problema se puede plantear a partir de esta ecuación diofántica: N=1111x+111y+11z (si N es un número de cuatro cifras), para una vez hallados x,y , z, descomponerlos en números de una cifra del 1 al 9, para cumplir lo pedido por el problema.
Para ello podemos escribir en la hoja de cálculo y en columna, tres conjeturas para esas variables, supongamos que en las celdas G4, G5 y G6. Después, en la G7 escribimos la fórmula =1111*G4+111*G5+11*G6. Esta celda es la que deseamos que tenga el valor 2009, según pide el problema.
Elegimos la herramienta Solver, en la que concretaremos estos datos:
La solución obtenida, X=1, Y=7, Z=11 se puede descomponer, por ejemplo, en
2009=1111+777+66+55
Puede darte un valor de z mayor que 101, con lo que podemos pasar parte del mismo a X, ya que 1111=101*11
Como ves, el método te demanda unos ajustillos posteriores, pero es curioso que Solver ayude en este tipo de cuestiones.
(http://problemate.blogspot.com)
La igualdad 2008 = 1111 + 444 + 222 + 99 + 77 + 55 es un ejemplo de descomposición del número 2008 como suma de números distintos de más de una cifra, cuya representación (en el sistema decimal) utiliza un sólo dígito.
i) Encontrar una descomposición de este tipo para el número 2009.
ii) Determinar para el número 2009 todas las posibles descomposiciones de este tipo que utilizan el menor número posible de sumandos (el orden de los sumandos no se tiene en cuenta).
Nos ha parecido de interés para comentar las posibilidades de la herramienta Solver, tanto de Excel como de Calc (tan sólo se diferencian en pequeños detalles) para ayudarnos a encontrar una de las descomposiciones pedidas.
Este problema se puede plantear a partir de esta ecuación diofántica: N=1111x+111y+11z (si N es un número de cuatro cifras), para una vez hallados x,y , z, descomponerlos en números de una cifra del 1 al 9, para cumplir lo pedido por el problema.
Para ello podemos escribir en la hoja de cálculo y en columna, tres conjeturas para esas variables, supongamos que en las celdas G4, G5 y G6. Después, en la G7 escribimos la fórmula =1111*G4+111*G5+11*G6. Esta celda es la que deseamos que tenga el valor 2009, según pide el problema.
Elegimos la herramienta Solver, en la que concretaremos estos datos:
- Los contenidos de las celdas han de ser enteros positivos
- Como tipo de resolución no elegimos máximo o mínimo, sino un valor concreto
- La celda G7 ha de tener el valor 2009, por ejemplo
La solución obtenida, X=1, Y=7, Z=11 se puede descomponer, por ejemplo, en
2009=1111+777+66+55
Puede darte un valor de z mayor que 101, con lo que podemos pasar parte del mismo a X, ya que 1111=101*11
Como ves, el método te demanda unos ajustillos posteriores, pero es curioso que Solver ayude en este tipo de cuestiones.
domingo 4 de octubre de 2009
Fracciones continuas (2) - Reducidas
En una entrada anterior desarrollamos la fracción 1280/345 en forma de fracción continua, formada por los cocientes [3,1,2,2,4,2], como puedes comprobar fácilmente con las hojas de cálculo fraccont.ods y fraccont.xls.
Debajo de los cocientes aparecen una serie de fracciones, llamadas reducidas o convergentes, que se van aproximando a 1280/245: 3/1, 4/1, 11/3, 26/7, 115/31 y 256/69, que resulta ser la fracción desarrollada, 1280/345, pero simplificada.
Puedes ver esta aproximación en los desarrollos decimales que figuran debajo en la hoja de cálculo.
Estas reducidas se forman calculando fracciones parciales de izquierda a derecha:
3=3; 3+1/1=4; 3+1/(1+1/2)=11/3…
La hoja de cálculo fraccont.ods (en su hoja dedicada a números fraccionarios) logra estas reducidas mediante un algoritmo clásico llamado de “los cumulantes”. Consiste en construir dos sucesiones recurrentes del tipo
Pn = pn-1*an+pn-2
siendo an la sucesión de cocientes de la fracción continua, precedidos en la primera fila por 0 y 1 y en la segunda por 1 y 0. Como ejemplo, si se aplican los cumulantes a la sucesión 1,1,1,1,1…. Resulta la sucesión de Fibonacci 1,1,2,3,5,8…
Puedes seguir estos cumulantes en las filas que contienen los numeradores y denominadores de las reducidas.
Las reducidas permiten la aproximación a una fracción con numerador y denominador grandes mediante otras que están construidas con números más pequeños. Esta utilidad la usaban los torneros cuando carecían de ruedas de determinado número de dientes y debían sustituirlas, con un pequeño error, por otras ruedas más pequeñas.
Por ejemplo, si deseamos que unos engranajes produzcan 2009 revoluciones en un eje y 2000 en otro, sus números de dientes deben seguir la proporción 2009/2000, pero se pueden sustituir por 223/222 con un error inferior a 0,000005.
La reducidas son alternativamente mayores y menores que la fracción dada, y se acercan a ella, pues la diferencia entre dos reducidas es siempre igual a la unidad dividida entre el producto de sus denominadores.
Debajo de los cocientes aparecen una serie de fracciones, llamadas reducidas o convergentes, que se van aproximando a 1280/245: 3/1, 4/1, 11/3, 26/7, 115/31 y 256/69, que resulta ser la fracción desarrollada, 1280/345, pero simplificada.
Puedes ver esta aproximación en los desarrollos decimales que figuran debajo en la hoja de cálculo.
Estas reducidas se forman calculando fracciones parciales de izquierda a derecha:
3=3; 3+1/1=4; 3+1/(1+1/2)=11/3…
La hoja de cálculo fraccont.ods (en su hoja dedicada a números fraccionarios) logra estas reducidas mediante un algoritmo clásico llamado de “los cumulantes”. Consiste en construir dos sucesiones recurrentes del tipo
Pn = pn-1*an+pn-2
siendo an la sucesión de cocientes de la fracción continua, precedidos en la primera fila por 0 y 1 y en la segunda por 1 y 0. Como ejemplo, si se aplican los cumulantes a la sucesión 1,1,1,1,1…. Resulta la sucesión de Fibonacci 1,1,2,3,5,8…
Puedes seguir estos cumulantes en las filas que contienen los numeradores y denominadores de las reducidas.
Las reducidas permiten la aproximación a una fracción con numerador y denominador grandes mediante otras que están construidas con números más pequeños. Esta utilidad la usaban los torneros cuando carecían de ruedas de determinado número de dientes y debían sustituirlas, con un pequeño error, por otras ruedas más pequeñas.
Por ejemplo, si deseamos que unos engranajes produzcan 2009 revoluciones en un eje y 2000 en otro, sus números de dientes deben seguir la proporción 2009/2000, pero se pueden sustituir por 223/222 con un error inferior a 0,000005.
La reducidas son alternativamente mayores y menores que la fracción dada, y se acercan a ella, pues la diferencia entre dos reducidas es siempre igual a la unidad dividida entre el producto de sus denominadores.
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